Gleichseitige Dreiecksmerkmale, Eigenschaften, Formeln und Flächen



A gleichseitiges Dreieck es ist ein Vieleck mit drei Seiten, wo alle gleich sind; das heißt, sie haben das gleiche Maß. Für dieses Merkmal wurde der Name gleichseitig (gleiche Seiten) gegeben.

Dreiecke sind Polygone, die in der Geometrie als die einfachsten betrachtet werden, weil sie drei Seiten, drei Winkel und drei Ecken bilden. Im Fall des gleichseitigen Dreiecks bedeutet das Vorhandensein gleicher Seiten, dass seine drei Winkel ebenfalls gleich sind.

Index

  • 1 Eigenschaften gleichseitiger Dreiecke
    • 1.1 Gleiche Seiten
    • 1.2 Komponenten
  • 2 Eigenschaften
    • 2.1 Innenwinkel
    • 2.2 Außenwinkel
    • 2.3 Summe der Seiten
    • 2.4 Kongruente Seiten
    • 2.5 Kongruente Winkel
    • 2.6 Die Halbierende, der Median und die Mediatrix fallen zusammen
    • 2.7 Die Winkelhalbierende und die Höhe stimmen überein
    • 2.8 Orthozentrum, Schwerpunkt, Mittelpunkt und Umkreismittelpunkt stimmen überein
  • 3 Wie berechnet man den Umfang?
  • 4 Wie berechnet man die Höhe?
  • 5 Wie berechnet man die Seiten?
  • 6 Wie berechnet man die Fläche?
  • 7 Übungen
    • 7.1 Erste Übung
    • 7.2 Zweite Übung
    • 7.3 Dritte Übung
  • 8 Referenzen

Eigenschaften von gleichseitigen Dreiecken

Gleiche Seiten

Die gleichseitigen Dreiecke sind flache und geschlossene Figuren, die aus drei geraden Linien zusammengesetzt sind. Dreiecke werden nach ihren Eigenschaften in Bezug auf ihre Seiten und Winkel klassifiziert; das gleichseitige wurde mit dem Maß seiner Seiten als Parameter klassifiziert, da diese genau gleich sind, dh kongruent sind.

Das gleichseitige Dreieck ist ein Sonderfall des gleichschenkligen Dreiecks, weil zwei seiner Seiten kongruent sind. Deshalb sind alle gleichseitigen Dreiecke gleichschenklig, aber nicht alle gleichschenkligen Dreiecke sind gleichseitig.

Auf diese Weise haben die gleichseitigen Dreiecke die gleichen Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks.

Gleichseitige Dreiecke können auch durch die Amplitude ihrer Innenwinkel als gleichwinklig abgewinkeltes Dreieck klassifiziert werden, das drei Seiten und drei Innenwinkel mit dem gleichen Maß aufweist. Die Winkel sind scharf, das heißt, sie sind kleiner als 90o.

Komponenten

Dreiecke haben im Allgemeinen mehrere Linien und Punkte, aus denen sie bestehen. Sie werden verwendet, um die Fläche, die Seiten, die Winkel, den Median, die Winkelhalbierende, die Senkrechte und die Höhe zu berechnen.

  • Der Median: ist eine Linie, die vom Mittelpunkt einer Seite abgeht und den gegenüberliegenden Eckpunkt erreicht. Die drei Mediane stimmen in einem Punkt überein, der Centrocenter oder Centro Centroid genannt wird.
  • Die Winkelhalbierende: ist ein Strahl, der den Winkel der Scheitelpunkte in zwei gleich große Winkel teilt, deshalb ist er als Symmetrieachse bekannt. Das gleichseitige Dreieck hat drei Symmetrieachsen.

Im gleichseitigen Dreieck wird die Winkelhalbierende von der Ecke eines Winkels zu ihrer gegenüberliegenden Seite gezogen und schneidet sie in ihrer Mitte. Diese stimmen in Punkt an, der Anreiz genannt wird.

  • Die Mediatorin: ist ein Segment senkrecht zu der Seite des Dreiecks, die in der Mitte von diesem stammt. Es gibt drei Medien in einem Dreieck und sie stimmen in einem Punkt überein, der circlencentro genannt wird.
  • Die Höhe: ist die Linie, die vom Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Seite geht und auch diese Linie senkrecht zu dieser Seite ist. Alle Dreiecke haben drei Höhen, die an einem Punkt zusammentreffen, der als Orthocenter bezeichnet wird.

Eigenschaften

Die Haupteigenschaft von gleichseitigen Dreiecken ist, dass sie immer gleichschenklige Dreiecke sind, da die gleichschenkligen von zwei kongruenten Seiten und die gleichseitigen um drei gebildet werden.

Auf diese Weise erbten die gleichseitigen Dreiecke alle Eigenschaften des gleichschenkligen Dreiecks:

Interne Winkel

Die Summe der internen Winkel ist immer gleich 180ound da alle Winkel kongruent sind, wird jeder von diesen 60 messeno.

Externe Winkel

Die Summe der externen Winkel ist immer gleich 360oDaher wird jeder externe Winkel 120 betrageno. Dies liegt daran, dass die internen und externen Winkel ergänzend sind, das heißt, dass sie immer gleich 180 sindo.

Summe der Seiten

Die Summe der Maße zweier Seiten muss immer größer sein als das Maß der dritten Seite, also a + b> c, wobei a, b und c die Maße jeder Seite sind.

Kongruente Seiten

Gleichseitige Dreiecke haben ihre drei Seiten mit demselben Maß oder derselben Länge; das heißt, sie sind kongruent. Daher haben wir im vorherigen Element a = b = c.

Kongruente Winkel

Gleichseitige Dreiecke werden auch als gleichwinklige Dreiecke bezeichnet, weil ihre drei inneren Winkel zueinander kongruent sind. Dies liegt daran, dass alle Seiten dasselbe Maß haben.

Die Halbierung, der Median und die Mediatrix fallen zusammen

Die Winkelhalbierende teilt die Seite eines Dreiecks in zwei Teile. In den gleichseitigen Dreiecken wird diese Seite in zwei genau gleiche Teile geteilt, dh das Dreieck wird in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke geteilt.

Die aus einem beliebigen Winkel eines gleichseitigen Dreiecks gezogene Winkelhalbierende stimmt somit mit dem Mittel und der Winkelhalbierenden der diesem Winkel gegenüberliegenden Seite überein.

Beispiel:

Die folgende Abbildung zeigt das Dreieck ABC mit einem Mittelpunkt D, der eine seiner Seiten in zwei Segmente AD und BD unterteilt.

Wenn Sie eine Linie von Punkt D zum gegenüberliegenden Eckpunkt zeichnen, erhalten Sie per Definition die mittlere CD, die relativ zum Eckpunkt C und zur Seite AB ist.

Da das Segment CD das Dreieck ABC in zwei Dreiecke gleich CDA und CDB teilt, bedeutet, dass der Fall der Kongruenz werden: Seite Seitenwinkel und wird daher auch Winkelhalbierenden BCD CD.

Wenn Sie das CD-Segment zeichnen, teilen Sie den Scheitelwinkel in zwei gleiche Winkel von 30 eino, der Winkel des Scheitelpunkts A misst weiterhin 60o und die gerade CD bildet einen Winkel von 90o in Bezug auf den Mittelpunkt D.

Die CD-Segment bilden Winkel mit dem gleichen Maß für den ADC und BDC Dreiecke, das heißt, sie sind zusätzlich so, dass die Ausdehnung jedes ist:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180o

2 * Med. (ADC) = 180o

Med. (ADC) = 180o ÷ 2

Med. (ADC) = 90o.

Und so haben wir, dass das CD-Segment auch die Winkelhalbierende der AB-Seite ist.

Die Winkelhalbierende und die Höhe stimmen überein

Durch Ziehen der Halbierenden vom Scheitel eines Winkels zu dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite, dies teilt das Dreieck in zwei kongruente Dreiecke.

Auf diese Weise wird ein Winkel von 90 ° gebildeto (gerade). Dies zeigt an, dass dieses Liniensegment zu dieser Seite vollständig senkrecht ist, und per Definition wäre diese Linie die Höhe.

Auf diese Weise stimmt die Winkelhalbierende eines beliebigen Winkels eines gleichseitigen Dreiecks mit der relativen Höhe auf der gegenüberliegenden Seite dieses Winkels überein.

Orthozentrum, Schwerpunkt, Zentrum und Umkreismitte stimmen überein

Als Höhe, mittleren und Winkelhalbierenden halbierenden werden beide durch das gleiche Segment, in ein gleichschenkligen Treffpunkten dieser Segmente-der dargestellte Höhenschnittpunkt, Zentroid, incenter und circuncentro- Dreieck, in dem gleichen Punkt war:

Wie berechnet man den Umfang?

Der Umfang eines Polygons wird durch die Summe der Seiten berechnet. Da in diesem Fall das gleichseitige Dreieck alle Seiten mit demselben Maß hat, wird sein Umfang mit der folgenden Formel berechnet:

P = 3 * Seite

Wie berechnet man die Höhe?

Da die Höhe die Linie ist, die senkrecht zur Basis steht, teilt sie sie in zwei gleiche Teile auf, indem sie sie bis zum gegenüberliegenden Eckpunkt verlängert. Somit werden zwei gleiche rechte Dreiecke gebildet.

Die Höhe (h) stellt die gegenüberliegende Seite (A), die Hälfte der Wechselstromseite an benachbarten Schenkels (b) Seite BC die Hypotenuse darstellt (c).

Mit dem Satz des Pythagoras können Sie den Wert der Höhe bestimmen:

a2 + b2 = c2

Wo:

a2 = Höhe (h).

b2 = Seite b / 2.

c2 = Seite a.

Durch Einsetzen dieser Werte in den Satz des Pythagoras und durch Löschen der Höhe haben wir:

h2 + ( l / 2)2 = l2

h2 + l2/ 4 = l2

h2 = l2  -  l2/ 4

h2 = (4*l2 -  l2) / 4

h2 =  3*l2 /4

√h2 = √ (3*l2 /4)

Wenn der von den kongruenten Seiten gebildete Winkel bekannt ist, kann die Höhe (dargestellt durch ein Bein) durch Anwendung der trigonometrischen Verhältnisse berechnet werden.

Die Beine werden entgegengesetzt oder benachbart genannt, abhängig von dem Winkel, der als Referenz genommen wird.

Zum Beispiel wird in der vorherigen Abbildung der Kathete h für den Winkel C entgegengesetzt sein, aber neben dem Winkel B:

So kann die Höhe berechnet werden mit:

Wie berechnet man die Seiten?

Es gibt Fälle, in denen die Abmessungen der Seiten des Dreiecks nicht bekannt sind, aber ihre Höhe und die Winkel, die in den Ecken gebildet werden.

Um die Fläche in diesen Fällen zu bestimmen, ist es notwendig, die trigonometrischen Verhältnisse anzuwenden.

Wenn der Winkel eines seiner Eckpunkte bekannt ist, werden die Beine identifiziert und das entsprechende trigonometrische Verhältnis wird verwendet:

Somit wird das Bein AB für den Winkel C entgegengesetzt zu dem Winkel A sein. Abhängig von der Seite oder dem Bein entsprechend der Höhe wird die andere Seite gelöscht, um den Wert davon zu erhalten, wobei man weiß, dass in einem gleichseitigen Dreieck die drei sind Seiten haben immer die gleiche Größe.

Wie berechnet man die Fläche?

Die Fläche der Dreiecke wird immer mit der gleichen Formel berechnet, multipliziert die Basis mit der Höhe und dividiert durch zwei:

Fläche = (b * h) ÷ 2

Zu wissen, dass die Höhe durch die Formel gegeben ist:

Übungen

Erste Übung

Die Seiten eines gleichseitigen Dreiecks ABC messen jeweils 20 cm. Berechnen Sie die Höhe und Fläche dieses Polygons.

Lösung

Um die Fläche dieses gleichseitigen Dreiecks zu bestimmen, ist es notwendig, die Höhe zu berechnen, wenn man weiß, dass es beim Zeichnen das Dreieck in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke teilt.

Auf diese Weise kann der Satz des Pythagoras verwendet werden, um es zu finden:

a2 + b2 = c2

Wo:

a = 20/2 = 10 cm.

b = Höhe

c = 20 cm

Die Daten im Satz werden ersetzt:

102 + b2 = 202

100 cm + b2 = 400 cm

b2 = (400 - 100) cm

b2 = 300 cm

b = √300 cm

b = 17,32 cm.

Das heißt, dass die Höhe des Dreiecks 17,32 cm beträgt. Jetzt ist es möglich, die Fläche des gegebenen Dreiecks zu berechnen, indem man in die Formel einfügt:

Fläche = (b * h) ÷ 2

Fläche = (20 cm * 17,32 cm) 2

Fläche = 346,40 cm2 ÷ 2

Fläche = 173,20 cm2.

Eine andere einfachere Möglichkeit, die Übung zu lösen, besteht darin, die Daten in der direkten Formel des Bereichs zu ersetzen, wo auch der Wert der Höhe implizit gefunden wird:

Zweite Übung

In einem Land, das ein gleichseitiges Dreieck hat, werden Blumen gepflanzt. Wenn der Umfang dieses Landes 450 m beträgt, berechnen Sie die Anzahl der von den Blumen belegten Quadratmeter.

Lösung

Wenn man bedenkt, dass der Umfang eines Dreiecks der Summe seiner drei Seiten entspricht und das Gelände die Form eines gleichseitigen Dreiecks hat, haben die drei Seiten dieses Dreiecks dasselbe Maß oder dieselbe Länge:

P = Seite + Seite + Seite = 3 * l

3 * l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m

Jetzt muss nur die Höhe dieses Dreiecks berechnet werden.

Die Höhe teilt das Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke, wobei eines der Beine die Höhe und die andere Hälfte der Basis darstellt. Nach dem Satz des Pythagoras kann die Höhe bestimmt werden:

a2 + b2 = c2

Wo:

a = 150 m 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = Höhe

Die Daten im Satz werden ersetzt:

(75 m)2 + b2 = (150 m)2

5.625 m + b2 = 22.500 m

b2 = 22.500 m - 5.625 m

b2 = 16.875 m

b = 16.875 m

b = 129,90 m.

Also wird die Fläche, die die Blumen besetzen wird:

Fläche = b * h ≈ 2

Fläche = (150 m * 129,9 m) 2

Fläche = (19.485 m2) ÷ 2

Fläche = 9.742,5 m2

Dritte Übung

Das gleichseitige Dreieck ABC wird durch ein Liniensegment geteilt, das von seinem Eckpunkt C zum Mittelpunkt D auf der gegenüberliegenden Seite (AB) verläuft. Dieses Segment misst 62 Meter. Berechnen Sie die Fläche und den Umfang dieses gleichseitigen Dreiecks.

Lösung

Wissend, dass das gleichseitige Dreieck durch ein Liniensegment geteilt ist, das der Höhe entspricht, wodurch zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke gebildet werden, teilt dieses wiederum auch den Winkel der Ecke C in zwei Winkel mit dem gleichen Maß 30o jeder einzelne

Die Höhe bildet einen Winkel von 90o in Bezug auf das Segment AB, und der Winkel des Scheitelpunkts A wird dann 60 messeno.

Dann als Bezugspunkt den Winkel von 30 verwendeno, die Höhe CD wird als ein Bein neben dem Winkel und BC als Hypotenuse eingerichtet.

Aus diesen Daten kann der Wert einer der Seiten des Dreiecks unter Verwendung der trigonometrischen Verhältnisse bestimmt werden:

Da im gleichseitigen Dreieck alle Seiten genau das gleiche Maß oder die gleiche Länge haben, bedeutet dies, dass jede Seite des gleichseitigen Dreiecks ABC gleich 71,6 Meter ist. Das Wissen, dass es möglich ist, Ihr Gebiet zu bestimmen:

Fläche = b * h ≈ 2

Fläche = (71,6 m * 62 m) ÷ 2

Fläche = 4.438,6 m2 ÷ 2

Fläche = 2.219,3 m2

Der Umfang ist durch die Summe seiner drei Seiten gegeben:

P = Seite + Seite + Seite = 3 * l

P = 3*l

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 m.

Referenzen

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Technisches Zeichnen: Aktivitätsnotizbuch.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. Pearson Ausbildung.
  3. Baldor, A. (1941). Algebra Havanna: Kultur.
  4. BARBOSA, J. L. (2006). Flache euklidische Geometrie. SBM. Rio de Janeiro ,.
  5. Coxford, A. (1971). Geometrie Ein Transformationsansatz. USA: Laidlaw Brüder.
  6. Euklid, R. P. (1886). Euklids Elemente der Geometrie.
  7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometrie und Trigonometrie
  8. León Fernández, G. S. (2007). Integrierte Geometrie Metropolitan Technologisches Institut.
  9. Sullivan, J. (2006). Algebra und Trigonometrie. Pearson Ausbildung.