Scale Dreieck Features, Formel und Bereiche, Berechnung



A schiefes Dreieck es ist ein dreiseitiges Polygon, wo jeder verschiedene Maße oder Längen hat; Aus diesem Grund trägt er den Namen Scalene, was im Lateinischen "Klettern" bedeutet.

Dreiecke sind Polygone, die in der Geometrie als die einfachsten betrachtet werden, weil sie drei Seiten, drei Winkel und drei Ecken bilden. Im Fall des ungleichschenkligen Dreiecks bedeutet dies, dass es alle drei Seiten hat.

Index

  • 1 Eigenschaften von Schuppen-Dreiecken
    • 1.1 Komponenten
  • 2 Eigenschaften
    • 2.1 Innenwinkel
    • 2.2 Summe der Seiten
    • 2.3 Inkonsistente Seiten
    • 2.4 Inkongruente Winkel
    • 2.5 Höhe, Mittel, Halbierung und Halbierung stimmen nicht überein
    • 2.6 Orthozentrum, Schwerpunkt, Mittelpunkt und Umkreismittel stimmen nicht überein
    • 2.7 Relative Höhen
  • 3 Wie berechnet man den Umfang?
  • 4 Wie berechnet man die Fläche?
  • 5 Wie berechnet man die Höhe?
  • 6 Wie berechnet man die Seiten?
  • 7 Übungen
    • 7.1 Erste Übung
    • 7.2 Zweite Übung
    • 7.3 Dritte Übung
  • 8 Referenzen

Eigenschaften von Schuppen-Dreiecken

Maßstabsdreiecke sind einfache Polygone, da keine ihrer Seiten oder Winkel das gleiche Maß hat, im Gegensatz zu gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken.

Da alle Seiten und Winkel unterschiedliche Maße haben, werden diese Dreiecke als unregelmäßige konvexe Polygone betrachtet.

Entsprechend der Amplitude der inneren Winkel werden die magischen Dreiecke klassifiziert als:

  • Skaliere Rechteckdreieck: Alle Seiten sind anders. Einer seiner Winkel ist gerade (90o) und die anderen sind scharf und mit verschiedenen Maßnahmen.
  • Stumpfes Winkeldreieck skalieren: alle seine Seiten sind verschieden und einer seiner Winkel ist stumpf (> 90o).
  • Scale acut Winkeldreieck: Alle Seiten sind anders. Alle Winkel sind scharf (<90o), mit verschiedenen Maßnahmen.

Eine weitere Eigenschaft der Skalen-Dreiecke ist, dass sie aufgrund der Inkongruenz ihrer Seiten und Winkel keine Symmetrieachse haben.

Komponenten

Der Median: ist eine Linie, die vom Mittelpunkt einer Seite abgeht und den gegenüberliegenden Eckpunkt erreicht. Die drei Mediane stimmen in einem Punkt überein, der Centrocenter oder Centro Centroid genannt wird.

Die Winkelhalbierende: ist ein Strahl, der jeden Winkel in zwei gleich große Winkel teilt. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks stimmen an einem Punkt überein, der Anreiz genannt wird.

Die Mediatorin: ist ein Segment senkrecht zu der Seite des Dreiecks, die in der Mitte von diesem stammt. In einem Dreieck gibt es drei Mediatrices, die sich in einem Punkt mit dem Namen circumcenter befinden.

Die Höhe: ist die Linie, die vom Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Seite geht und auch diese Linie senkrecht zu dieser Seite ist. Alle Dreiecke haben drei Höhen, die an einem Punkt zusammentreffen, der als Orthocenter bezeichnet wird.

Eigenschaften

Maßstabsdreiecke werden definiert oder identifiziert, weil sie mehrere Eigenschaften haben, die sie repräsentieren, die aus den Theoremen stammen, die von großen Mathematikern vorgeschlagen wurden. Sie sind:

Innenwinkel

Die Summe der internen Winkel ist immer gleich 180o.

Summe der Seiten

Die Summe der Maße zweier Seiten muss immer größer sein als das Maß der dritten Seite, a + b> c.

Inkonsistente Seiten

Alle Seiten der schrägen Dreiecke haben unterschiedliche Maße oder Längen; das heißt, sie sind inkongruent.

Inkonsistente Winkel

Da alle Seiten des schrägen Dreiecks unterschiedlich sind, werden ihre Winkel auch unterschiedlich sein. Die Summe der inneren Winkel wird jedoch immer gleich 180º sein, und in einigen Fällen kann einer seiner Winkel stumpf oder gerade sein, während in anderen Fällen alle seine Winkel scharf sind.

Höhe, Mittel, Halbierung und Halbierung stimmen nicht überein

Wie bei jedem Dreieck hat die Schuppe verschiedene Segmente von geraden Linien, aus denen sie besteht, wie: Höhe, Median, Halbierende und Halbierende.

Aufgrund der Besonderheit seiner Seiten fällt in diesem Dreieckstyp keine dieser Linien in einer einzigen Linie zusammen.

Orthozentrum, Schwerpunkt, Mittelpunkt und Umkreismittel stimmen nicht überein

Da die Höhe, der Median, die Winkelhalbierende und die Winkelhalbierende durch verschiedene Segmente von Geraden dargestellt werden, werden die Treffpunkte in einem schrägen Dreieck - der Orthofentakt, der Mittelpunkt, der Mittelpunkt und der Umkreismittelpunkt - an verschiedenen Punkten gefunden (sie stimmen nicht überein).

Abhängig davon, ob das Dreieck ein Akut, ein Rechteck oder eine Scalene ist, hat das Orthocenter verschiedene Positionen:

a. Wenn das Dreieck spitz ist, befindet sich das Orthozentrum innerhalb des Dreiecks.

b. Wenn das Dreieck ein Rechteck ist, fällt das Orthozentrum mit dem Eckpunkt der geraden Seite zusammen.

c. Wenn das Dreieck stumpf ist, befindet sich das Orthocenter auf der Außenseite des Dreiecks.

Relative Höhe

Die Höhen sind relativ zu den Seiten.

Im Falle des ungleichschenkligen Dreiecks haben diese Höhen unterschiedliche Maße. Jedes Dreieck hat drei relative Höhen und um sie zu berechnen, wird die Formel von Heron benutzt.

Wie berechnet man den Umfang?

Der Umfang eines Polygons wird durch die Summe der Seiten berechnet.

Wie in diesem Fall hat das Scalene-Dreieck alle seine Seiten mit unterschiedlichen Maßen, sein Umfang wird sein:

P = Seite a + Seite b + Seite c.

Wie berechnet man die Fläche?

Die Fläche der Dreiecke wird immer mit der gleichen Formel berechnet, multipliziert die Basis mit der Höhe und dividiert durch zwei:

Fläche = (Basis * h) ÷ 2

In einigen Fällen ist die Höhe des ungleichschenkligen Dreiecks nicht bekannt, aber es gibt eine Formel, die vom Mathematiker Heron vorgeschlagen wurde, um das Gebiet zu berechnen, in dem die Messung der drei Seiten eines Dreiecks bekannt ist.

Wo:

  • a, b und c, repräsentieren die Seiten des Dreiecks.
  • sp, entspricht dem Semiperimeter des Dreiecks, also der Hälfte des Umfangs:

sp = (a + b + c) 2

Wenn Sie nur zwei der Seiten des Dreiecks und den Winkel zwischen ihnen messen, kann die Fläche durch Anwendung der trigonometrischen Verhältnisse berechnet werden. Also musst du:

Fläche = (Seite * h) ÷ 2

Wo die Höhe (h) das Produkt einer Seite durch den Sinus des entgegengesetzten Winkels ist. Für jede Seite ist der Bereich beispielsweise:

  • Fläche = (b * c * sen A) ÷ 2
  • Fläche = (a * c * sen B) ÷ 2.
  • Fläche = (a * b * sen C) ÷ 2

Wie berechnet man die Höhe?

Da alle Seiten des ungleichschenkligen Dreiecks unterschiedlich sind, ist es nicht möglich, die Höhe mit dem Satz des Pythagoras zu berechnen.

Aus der Formel von Heron, die auf den Messungen der drei Seiten eines Dreiecks basiert, kann die Fläche berechnet werden.

Die Höhe kann von der allgemeinen Formel des Bereichs gelöscht werden:

Die Seite wird durch die Messung der Seite a, b oder c ersetzt.

Eine andere Möglichkeit, die Höhe zu berechnen, wenn der Wert eines der Winkel bekannt ist, ist die Anwendung der trigonometrischen Verhältnisse, wobei die Höhe einen Schenkel des Dreiecks darstellt.

Zum Beispiel, wenn der entgegengesetzte Winkel zur Höhe bekannt ist, wird es durch den Sinus bestimmt:

Wie berechnet man die Seiten?

Wenn Sie das Maß von zwei Seiten und den dazu entgegengesetzten Winkel haben, ist es möglich, die dritte Seite zu bestimmen, indem Sie den Kosinus-Satz anwenden.

Zum Beispiel ist in einem Dreieck AB die relative Höhe zum Segment AC aufgetragen. Auf diese Weise ist das Dreieck in zwei rechte Dreiecke unterteilt.

Um die C-Seite (Segment AB) zu berechnen, wird das Pythagoras-Theorem für jedes Dreieck angewendet:

  • Für das blaue Dreieck musst du:

c2 = h2 + m2

Als m = b - n wird es ersetzt:

c2 = h2 + b2 (b - n)2

c2 = h2 + b2 - 2 2 + n2.

  • Für das rosa Dreieck musst du:

h2 = a2 - n2

Es ist in der vorherigen Gleichung ersetzt:

c2 = a2 - n2 + b2 - 2 2 + n2

c2 = a2 + b2 - 2 Mrd.

Wissen, dass n = a * cos C, wird in der vorherigen Gleichung substituiert und der Wert von Seite c wird erhalten:

c2 = a2 + b2 - 2b* a * cos C.

Nach dem Gesetz des Kosinus können die Seiten wie folgt berechnet werden:

  • a2 = b2 + c2 - 2b* c * cos A.
  • b2 = a2 + c2 - 2a* c * cos B.
  • c2 = a2 + b2 - 2b* a * cos C.

Es gibt Fälle, in denen die Abmessungen der Seiten des Dreiecks nicht bekannt sind, aber ihre Höhe und die Winkel, die in den Ecken gebildet werden. Um die Fläche in diesen Fällen zu bestimmen, ist es notwendig, die trigonometrischen Verhältnisse anzuwenden.

Wenn der Winkel eines seiner Eckpunkte bekannt ist, werden die Beine identifiziert und das entsprechende trigonometrische Verhältnis wird verwendet:

Zum Beispiel wird das Bein AB für den Winkel C entgegengesetzt sein, aber angrenzend an den Winkel A. Abhängig von der Seite oder dem Bein entsprechend der Höhe wird die andere Seite gelöscht, um den Wert davon zu erhalten.

Übungen

Erste Übung

Berechnen Sie die Fläche und die Höhe des Dreiecks ABC, wobei Sie wissen, dass seine Seiten:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm

Lösung

Als Daten werden die Messungen der drei Seiten des ungleichschenkligen Dreiecks angegeben.

Da Sie den Höhenwert nicht haben, können Sie den Bereich ermitteln, indem Sie die Heron-Formel anwenden.

Zuerst wird das Halbmeter berechnet:

sp = (a + b + c) 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) 2

sp = 36 cm²

sp = 18 cm.

Jetzt sind die Werte in der Formel von Heron ersetzt:

Mit Kenntnis der Fläche kann die relative Höhe auf Seite b berechnet werden. Aus der allgemeinen Formel, die wir löschen, haben wir:

Fläche = (Seite * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2 * 46,47 cm2) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Zweite Übung

Angesichts der scalene Dreieck ABC, dessen Maßnahmen sind:

  • Segment AB = 25 m.
  • Segment BC = 15 m.

Am Scheitelpunkt B wird ein Winkel von 50 ° gebildet. Berechnen Sie die relative Höhe zu Seite c, Umfang und Fläche dieses Dreiecks.

Lösung

In diesem Fall haben wir die Maße von zwei Seiten. Um die Höhe zu bestimmen, ist es notwendig, die Messung der dritten Seite zu berechnen.

Da der entgegengesetzte Winkel zu den gegebenen Seiten gegeben ist, ist es möglich, das Kosinusgesetz anzuwenden, um das Maß der Wechselstromseite (b) zu bestimmen:

b2 = a2 + c2 - 2a*c * cos B

Wo:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50o.

Die Daten werden ersetzt:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482,025)

b2 = 367,985

b = 367.985

b = 19,18 m.

Da wir bereits den Wert der drei Seiten haben, berechnen wir den Umfang dieses Dreiecks:

P = Seite a + Seite b + Seite c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Jetzt ist es möglich, die Fläche durch Anwendung der Formel von Heron zu bestimmen, aber zuerst muss das Halbperimeter berechnet werden:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m 2

sp = 29,59 m.

Die Maße der Seiten und des Halbperimeters werden in der Formel von Heron ersetzt:

Schließlich kann die relative Höhe auf der Seite c berechnet werden. Aus der allgemeinen Formel, die Sie löschen müssen Sie:

Fläche = (Seite * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m2÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Dritte Übung

Im scalenischen Dreieck ABC beträgt die Seite b 40 cm, die Seite c misst 22 cm, und im Scheitelpunkt A ist ein Winkel von 90 cm gebildeto. Berechnen Sie die Fläche dieses Dreiecks.

Lösung

In diesem Fall sind die Maße von zwei Seiten des schrägen Dreiecks ABC gegeben, ebenso wie der Winkel, der in dem Scheitelpunkt A gebildet wird.

Um das Gebiet zu bestimmen, ist es nicht notwendig, das Maß der Seite a zu berechnen, da der Winkel durch die trigonometrischen Verhältnisse verwendet wird, um es zu finden.

Da der entgegengesetzte Winkel zur Höhe bekannt ist, wird dies durch das Produkt auf der einen Seite und den Sinus des Winkels bestimmt.

Ersetzen Sie in der Formel des Bereichs, den Sie:

  • Fläche = (Seite * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Fläche = (b * c * sen A) ÷ 2

Fläche = (40 cm * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Fläche = (40 cm * 22 cm * 1) ÷ 2

Fläche = 880 cm2 ÷ 2

Fläche = 440 cm2.

Referenzen

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Technisches Zeichnen: Aktivitätsnotizbuch.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Geometrien CR-Technologie.
  3. Engel, A. R. (2007). Elementare Algebra Pearson Ausbildung,.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra Havanna: Kultur.
  5. Barbosa, J. L. (2006). Flache euklidische Geometrie. Rio de Janeiro.
  6. Coxeter, H. (1971). Grundlagen der Geometrie. Mexiko: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Elementare Geometrie für Studenten. Cengage-Lernen
  8. Harpe, P. d. (2000). Themen in der geometrischen Gruppentheorie. Universität von Chicago Presse.