13 Klassen von Sets und Beispielen

Die Arten von Sätzen sie können klassifiziert werden als gleich, endlich und unendlich, Untergruppen, leer, disjunkt oder disjunktiv, äquivalent, einheitlich, überlagert oder überlappend, kongruent und nicht kongruent, unter anderem.

Ein Set ist eine Sammlung von Objekten, aber neue Begriffe und Symbole sind notwendig, um vernünftig über die Sets sprechen zu können.

In der gewöhnlichen Sprache wird der Welt, in der wir leben, Bedeutung zugeordnet. Spanisch hat viele Wörter für solche Sammlungen. Zum Beispiel "ein Vogelschwarm", "eine Rinderherde", "ein Bienenschwarm" und "eine Ameisenkolonie".

In der Mathematik wird etwas Ähnliches gemacht, wenn Zahlen, geometrische Figuren usw. klassifiziert werden. Die Objekte dieser Mengen werden Elemente der Menge genannt.

Beschreibung eines Satzes

Ein Satz kann beschrieben werden, indem alle seine Elemente aufgelistet werden. Zum Beispiel

S = {1, 3, 5, 7, 9}.

"S ist der Satz, dessen Elemente 1, 3, 5, 7 und 9 sind." Die fünf Elemente der Menge sind durch Kommas getrennt und in geschweiften Klammern aufgeführt.

Eine Menge kann auch begrenzt werden, indem eine Definition ihrer Elemente in Klammern angegeben wird. Somit kann die obige Menge S auch geschrieben werden als:

S = {ungerade ganze Zahlen kleiner als 10}.

Ein Set muss gut definiert sein. Dies bedeutet, dass die Beschreibung der Elemente einer Menge klar und eindeutig sein muss. Zum Beispiel ist {große Leute} kein Set, weil Leute dazu neigen, nicht damit einverstanden zu sein, was 'hoch' bedeutet. Ein Beispiel für einen wohldefinierten Satz ist

T = {Buchstaben des Alphabets}.

Arten von Sets

1- Gleiche Sätze

Zwei Sätze sind gleich, wenn sie genau die gleichen Elemente haben.

Zum Beispiel:

• Wenn A = {Vocals des Alphabets} und B = {a, e, i, o, u}, wird gesagt, dass A = B.
• Auf der anderen Seite sind die Mengen {1, 3, 5} und {1, 2, 3} nicht gleich, weil sie unterschiedliche Elemente haben. Dies wird als {1, 3, 5} ≠ {1, 2, 3} geschrieben.
• Die Reihenfolge, in der die Elemente in die Klammern geschrieben werden, spielt keine Rolle. Zum Beispiel: {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 9, 7, 5, 1} = {5, 9, 1, 3, 7}.
• Wenn ein Element mehr als einmal in der Liste erscheint, wird es nur einmal gezählt. Zum Beispiel {a, a, b} = {a, b}.

Die Menge {a, a, b} hat nur die zwei Elemente a und b. Die zweite Erwähnung von a ist eine unnötige Wiederholung und kann ignoriert werden. Es wird normalerweise als schlechte Schreibweise betrachtet, wenn ein Artikel mehr als einmal aufgelistet wird.

2- Endliche und unendliche Mengen

Die endlichen Mengen sind diejenigen, in denen alle Elemente der Menge gezählt oder aufgelistet werden können. Hier sind zwei Beispiele:

• {Ganze Zahlen zwischen 2.000 und 2.005} = {2.001, 2.002, 2.003, 2.004}
• {Ganze Zahlen zwischen 2.000 und 3.000} = {2.001, 2.002, 2.003, ..., 2.999}

Die drei Punkte "..." im zweiten Beispiel repräsentieren die anderen 995 Zahlen im Satz. Alle Elemente hätten aufgelistet werden können, aber um Platz zu sparen, wurden stattdessen Punkte verwendet. Diese Notation kann nur verwendet werden, wenn es völlig klar ist, was es bedeutet, wie in dieser Situation.

Eine Menge kann auch unendlich sein - es kommt nur darauf an, dass sie gut definiert ist. Hier sind zwei Beispiele für unendliche Mengen:

• {Gerade und ganze Zahlen größer oder gleich zwei} = {2, 4, 6, 8, 10, ...}
• {Ganze Zahlen größer als 2.000} = {2.001, 2.002, 2.003, 2.004, ...}

Beide Mengen sind unendlich, denn egal wie viele Elemente Sie aufzählen möchten, es gibt immer mehr Elemente in der Menge, die nicht aufgelistet werden können, egal wie lange Sie versuchen. Diesmal haben die Punkte "..." eine etwas andere Bedeutung, weil sie unendlich viele nicht aufgeführte Elemente repräsentieren.

3- Teilmengensätze

Eine Teilmenge ist ein Teil einer Menge.

• Beispiel: Eulen sind eine besondere Art von Vögeln, also ist jede Eule auch ein Vogel. In der Sprache der Sets wird ausgedrückt, dass das Set der Eulen eine Untergruppe der Vögel ist.

Eine Menge S heißt eine Teilmenge einer anderen Menge T, wenn jedes Element von S ein Element von T ist. Dies wird geschrieben als:

• S ⊂ T (Lesen "S ist eine Teilmenge von T")

Das neue Symbol bedeutet "es ist eine Teilmenge von". So {Eulen} birds {Vögel} weil jede Eule ein Vogel ist.

• Wenn A = {2, 4, 6} und B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, dann ist A ⊂ B,

Weil jedes Element von A ein Element von B ist.

Das Symbol ⊄ bedeutet "es ist keine Teilmenge".

Dies bedeutet, dass mindestens ein Element von S kein Element von T ist. Zum Beispiel:

• {Vögel} flying {fliegende Kreaturen}

Weil ein Strauß ein Vogel ist, aber er fliegt nicht.

• Wenn A = {0, 1, 2, 3, 4} und B = {2, 3, 4, 5, 6}, dann ist A ⊄

Weil 0 ∈ A, aber 0 ∉ B, lautet es "0 gehört zur Menge A", aber "0 gehört nicht zur Menge B".

4- Leeres Set

Das Symbol Ø steht für die leere Menge, also für die Menge, die überhaupt keine Elemente enthält. Nichts im gesamten Universum ist ein Element von Ø:

• | Ø | = 0 und X ∉ Ø, egal was X sein kann.

Es gibt nur eine leere Menge, da zwei leere Mengen genau die gleichen Elemente haben, also müssen sie gleich sein.

5- Disjunkte oder disjunktive Sätze

Zwei Sätze werden disjunkt genannt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben. Zum Beispiel:

• Die Mengen S = {2, 4, 6, 8} und T = {1, 3, 5, 7} sind disjunkt.

6- Äquivalente Sätze

Es wird gesagt, dass A und B äquivalent sind, wenn sie die gleiche Anzahl von Elementen haben, die sie bilden, das heißt, die Kardinalzahl der Menge A ist gleich der Kardinalzahl der Menge B, n (A) = n (B). Das Symbol für eine äquivalente Menge ist '↔'.

• Zum Beispiel:
  A = {1, 2, 3}, daher ist n (A) = 3
  B = {p, q, r}, daher ist n (B) = 3
  Daher ist A ↔ B

7- Einheitensätze

Es ist ein Satz, der genau ein Element enthält. Mit anderen Worten, es gibt nur ein Element, das das Ganze ausmacht.

Zum Beispiel:

• S = {a}
• Sei B = {ist eine Primzahl gerade}

Daher ist B eine unitäre Menge, weil es nur eine Primzahl gibt, die gerade ist, also 2.

8- Universal- oder Referenzsatz

Eine universelle Menge ist die Sammlung aller Objekte in einem bestimmten Kontext oder einer bestimmten Theorie. Alle anderen Mengen in diesem Rahmen sind Teilmengen der universellen Menge, die mit dem Großbuchstaben und dem kursiven U. benannt ist.

Die genaue Definition von U hängt von dem betrachteten Kontext oder der Theorie ab. Zum Beispiel:

• Sie könnten U als die Menge aller Lebewesen auf dem Planeten Erde definieren. In diesem Fall ist die Menge aller Katzen eine Teilmenge von U, die Menge aller Fische ist eine andere Teilmenge von U.
• Wenn wir U als die Menge aller Tiere auf dem Planeten Erde definieren, dann ist die Menge aller Katzen eine Teilmenge von U, die Menge aller Fische ist eine andere Teilmenge von U, aber die Menge aller Bäume ist nicht a Teilmenge von U.

9- Überlappende oder überlappende Sätze

Zwei Sätze mit mindestens einem gemeinsamen Element werden überlappende Sätze genannt.

• Beispiel: Sei X = {1, 2, 3} und Y = {3, 4, 5}

Die beiden Mengen X und Y haben ein gemeinsames Element, die Zahl 3. Daher werden sie überlappende Mengen genannt.

10 - Kongruente Sets.

Sind diese Mengen, in denen jedes Element von A die gleiche Beziehung der Entfernung mit seinen Elementen hat, Bild von B. Beispiel:

• B {2, 3, 4, 5, 6} und A {1, 2, 3, 4, 5}

Der Abstand zwischen: 2 und 1, 3 und 2, 4 und 3, 5 und 4, 6 und 5 ist eine (1) Einheit, also sind A und B kongruente Mengen.

11- Nicht kongruente Sätze

Sie sind diejenigen, in denen die gleiche Beziehung der Entfernung zwischen jedem Element von A nicht mit seinem Bild in B hergestellt werden kann. Beispiel:

• B {2, 8, 20, 100, 500} und A {1, 2, 3, 4, 5}

Der Abstand zwischen: 2 und 1, 8 und 2, 20 und 3, 100 und 4, 500 und 5 ist unterschiedlich, also sind A und B nicht kongruente Mengen.

12 - Homogene Mengen

Alle Elemente, aus denen das Set besteht, gehören derselben Kategorie, demselben Genre oder derselben Klasse an. Sie sind vom gleichen Typ. Beispiel:

• B {2, 8, 20, 100, 500}

Alle Elemente von B sind Zahlen, so dass die Menge als homogen betrachtet wird.

13 - Heterogene Mengen

Die Elemente, die Teil des Sets sind, gehören verschiedenen Kategorien an. Beispiel:

• A {z, auto, π, Gebäude, Apfel}

Es gibt keine Kategorie, zu der alle Elemente der Menge gehören, daher ist es eine heterogene Menge.

Referenzen

1. Brown, P. et al (2011). Sets und Venn-Diagramme. Melbourne, Universität von Melbourne.
2. Endgültiger Satz. Von: math.tutorvista.com.
3. Hoon, L und Hoon, T (2009). Mathe Insights Secondary 5 Normal (Akademisch). Singapur, Pearson Bildung South Asia Pte Ld.
4. Von: searchsecurity.techtarget.com.
5. Arten von Sätzen. Von: math-only-math.com.