Axiomatic Methodenmerkmale, Schritte, Beispiele



Die axiomatische Methode oder auch Axiomatik genannt, ist ein von den Wissenschaften verwendetes formales Verfahren, mit dem Axiome formulierte Aussagen oder Sätze formuliert werden, die durch eine Relation der Abzugsfähigkeit miteinander verbunden sind und die der Hypothese oder den Bedingungen eines bestimmten Systems zugrunde liegen.

Diese allgemeine Definition muss in die Entwicklung eingeordnet werden, die diese Methode im Laufe der Geschichte durchlaufen hat. Zuerst gibt es eine uralte Methode oder einen Inhalt, der im antiken Griechenland von Euklid geboren und später von Aristoteles entwickelt wurde.

Zweitens, schon im neunzehnten Jahrhundert, erschien eine Geometrie mit anderen Axiomen als Euklid. Und schließlich die formale oder moderne axiomatische Methode, deren maximaler Exponent David Hilbert war.

Jenseits seiner zeitlichen Entwicklung war dieses Verfahren die Grundlage für die deduktive Methode, die in der Geometrie und Logik verwendet wurde, aus der es stammt. Es wurde auch in Physik, Chemie und Biologie verwendet.

Und es wurde sogar auf Rechtswissenschaft, Soziologie und politische Ökonomie angewendet. Ihr wichtigster Anwendungsbereich ist jedoch derzeit Mathematik und symbolische Logik und einige Zweige der Physik wie Thermodynamik, Mechanik und andere Disziplinen.

Index

  • 1 Eigenschaften
    • 1.1 Alte axiomatische Methode oder Inhalt
    • 1.2 Nicht-Euklidische axiomatische Methode
    • 1.3 Moderne oder formale axiomatische Methode
  • 2 Schritte
  • 3 Beispiele
  • 4 Referenzen

Eigenschaften 

Obwohl das grundlegende Merkmal dieser Methode die Formulierung von Axiomen ist, wurden diese nicht immer in gleicher Weise berücksichtigt.

Es gibt einige, die beliebig definiert und konstruiert werden können. Und andere, nach einem Modell, in dem seine intuitiv garantierte Wahrheit berücksichtigt wird.

Um genau zu verstehen, woraus dieser Unterschied und seine Konsequenzen bestehen, ist es notwendig, die Entwicklung dieser Methode zu überprüfen.

Alte axiomatische Methode oder Inhalt

Es ist das im antiken Griechenland um das 5. Jahrhundert v. Chr. Gegründete. Sein Anwendungsbereich ist Geometrie. Die grundlegende Arbeit dieses Stadiums sind die Elemente des Euklid, obwohl man bedenkt, dass vor ihm, Pythagoras, bereits die axiomatische Methode geboren wurde.

So nehmen die Griechen gewisse Tatsachen als Axiome an, ohne irgendeinen logischen Beweis zu verlangen, dh ohne die Notwendigkeit der Demonstration, da sie für sie eine selbstverständliche Wahrheit sind.

Euclides seinerseits präsentiert fünf Axiome für die Geometrie:

1-Gegeben zwei Punkte gibt es eine Linie, die sie enthält oder verbindet.

2-Jedes Segment kann auf einer unbegrenzten Linie auf beiden Seiten kontinuierlich fortgesetzt werden.

3 - Sie können einen Kreis mit einem Mittelpunkt an einem beliebigen Punkt und in einem beliebigen Radius zeichnen.

4-Rechte Winkel sind alle gleich.

5-Nehmen wir eine gerade Linie und jeden Punkt, der nicht darin ist, dann gibt es eine gerade Linie, die parallel ist und die diesen Punkt enthält. Dieses Axiom ist später als das Axiom der Parallelen bekannt und wurde auch folgendermaßen ausgesprochen: durch einen Punkt außerhalb einer Linie kann man eine einzige Parallele ziehen.

Sowohl Euklid als auch spätere Mathematiker stimmen darin überein, dass das fünfte Axiom nicht so klar wie die anderen 4 ist. Selbst während der Renaissance versucht man, das fünfte der anderen 4 abzuleiten, aber es ist nicht möglich.

Dies führte dazu, dass bereits im 19. Jahrhundert die Befürworter der euklidischen Geometrie diejenigen waren, die die fünf behaupteten, und diejenigen, die die fünfte ablehnten, waren diejenigen, die die nicht-euklidischen Geometrien geschaffen hatten.

Nicht-Euklidische axiomatische Methode

Gerade Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski, János Bolyai und Johann Karl Friedrich Gauß sehen die Möglichkeit, ohne Widerspruch eine Geometrie zu konstruieren, die aus Systemen anderer Axiome als denen von Euklid hervorgeht. Dies zerstört den Glauben an die absolute oder a priori Wahrheit der Axiome und die daraus abgeleiteten Theorien.

Daher werden die Axiome als Ausgangspunkt einer gegebenen Theorie begriffen. Auch ihre Wahl und das Problem ihrer Gültigkeit auf die eine oder andere Weise beginnen, mit Tatsachen außerhalb der axiomatischen Theorie in Beziehung zu stehen.

Auf diese Weise erscheinen geometrische, algebraische und arithmetische Theorien, die mittels der axiomatischen Methode konstruiert wurden.

Dieses Stadium gipfelt in der Schaffung axiomatischer Rechensysteme wie dem von Giuseppe Peano im Jahre 1891; die Geometrie von David Hubert im Jahr 1899; die Aussagen und Prädikatsrechnungen von Alfred North Whitehead und Bertrand Russell in England im Jahr 1910; die axiomatische Theorie der Sätze von Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo im Jahre 1908.

Moderne oder formale axiomatische Methode

Es ist David Hubert, der die Konzeption einer formalen axiomatischen Methode einleitet, die zu seinem Höhepunkt führt, David Hilbert.

Gerade Hilbert formalisiert die wissenschaftliche Sprache, indem er ihre Aussagen als Formeln oder Zeichenfolgen betrachtet, die für sich genommen keine Bedeutung haben. Sie erhalten nur Bedeutung in einer bestimmten Interpretation.

In "Die Grundlagen der Geometrie"Erklärt das erste Beispiel dieser Methode.Von hier aus wird die Geometrie zur Wissenschaft der rein logischen Konsequenzen, die aus einem System von Hypothesen oder Axiomen gewonnen werden, besser artikuliert als das euklidische System.

Dies liegt daran, dass im alten System die axiomatische Theorie auf dem Beweis der Axiome basiert. Die Begründung der formalen Theorie ist gegeben durch die Demonstration des Nichtwiderspruchs ihrer Axiome.

Schritte 

Das Verfahren, das eine axiomatische Strukturierung innerhalb wissenschaftlicher Theorien vornimmt, erkennt:

a - die Wahl einer bestimmten Anzahl von Axiomen, das heißt eine Anzahl von Sätzen einer bestimmten Theorie, die akzeptiert werden, ohne dass sie demonstriert werden müssen.

Die Begriffe, die Teil dieser Sätze sind, werden nicht im Rahmen der gegebenen Theorie bestimmt.

c - Die Definitions- und Deduktionsregeln der gegebenen Theorie sind festgelegt und erlauben, neue Konzepte in die Theorie einzuführen und logisch einige Sätze von anderen herzuleiten.

d - die anderen Sätze der Theorie, dh der Satz, werden aus a auf der Basis von c abgeleitet.

Beispiele

Diese Methode kann durch die Demonstration der beiden bekanntesten Euklid-Theoreme, des Beinsatzes und des Höhensatzes, verifiziert werden.

Beide ergeben sich aus der Beobachtung dieses griechischen Geometers, dass, wenn die Höhe in Bezug auf die Hypotenuse innerhalb eines rechtwinkligen Dreiecks aufgetragen wird, zwei Dreiecke mehr erscheinen als das Original. Diese Dreiecke sind einander ähnlich und gleichzeitig dem Ursprungsdreieck ähnlich. Dies setzt voraus, dass ihre jeweiligen homologen Seiten proportional sind.

Man kann sehen, dass die kongruenten Winkel in den Dreiecken auf diese Weise die Ähnlichkeit zwischen den drei beteiligten Dreiecken gemäß dem AAA-Ähnlichkeitskriterium verifizieren. Dieses Kriterium besagt, dass, wenn zwei Dreiecke alle ihre gleichen Winkel haben, sie ähnlich sind.

Sobald gezeigt wird, dass die Dreiecke ähnlich sind, können die im ersten Satz angegebenen Proportionen festgelegt werden. Es besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Maß jedes Beines ein geometrisches proportionales Mittel zwischen der Hypotenuse und der Projektion des Katheten darin ist.

Der zweite Satz ist der der Höhe. Sie gibt an, dass jedes rechtwinklige Dreieck, das die Höhe entsprechend der Hypotenuse darstellt, ein geometrisches proportionales Mittel zwischen den Segmenten ist, die durch dieses geometrische Mittel an der Hypotenuse bestimmt werden.

Natürlich finden sich beide Theoreme weltweit nicht nur im Bereich der Bildung, sondern auch in den Ingenieurwissenschaften, der Physik, der Chemie und der Astronomie.

Referenzen

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